Symmetric Convex/Concave Functions: A Property of Their Extremizers（对称凹凸函数极值点的一个性质）

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摘要

本文讨论了对称凸（凹）函数的一个基本性质：若对称凸函数存在极小值点，则必存在一个位于对角线上的极小值点；对称凹函数情形亦然。本文给出二维情形的严格叙述与证明、$n$ 维推广、重要推论及相关注记。

证明的核心思想是：利用对称性从一个极值点生成一组对称的极值点，再借助凸函数的 Jensen 不等式证明它们的算术平均（必在对角线上）仍为极值点。整个过程不依赖可微性。

二维情形

定理 1（极小值）

设函数 $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 满足：

对称性：对所有 $x, y \in \mathbb{R}$，有 $F(x, y) = F(y, x)$；
凸性：$F$ 是凸函数；
极值存在性：$F$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上存在局部极小值点（凸函数的局部极小值点必为全局极小值点）。

则必存在 $t \in \mathbb{R}$，使得点 $(t, t)$ 也是 $F$ 的（全局）极小值点。

证明

设 $(a, b)$ 是 $F$ 的一个全局极小值点，记 $m = F(a, b) = \min_{(x,y) \in \mathbb{R}^2} F(x, y)$。

步骤 1：对称性给出另一个极小值点。
由对称性，$F(b, a) = F(a, b) = m$，故 $(b, a)$ 也是全局极小值点。

步骤 2：凸性控制中点的函数值。
$F$ 是凸函数，由 Jensen 不等式，对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ 及 $\lambda \in [0, 1]$ 有

\[F(\lambda \mathbf{u} + (1 - \lambda) \mathbf{v}) \le \lambda F(\mathbf{u}) + (1 - \lambda) F(\mathbf{v}).\]

取 $\mathbf{u} = (a, b)$，$\mathbf{v} = (b, a)$，$\lambda = \frac{1}{2}$，则中点

\[\frac{1}{2}(a, b) + \frac{1}{2}(b, a) = \left( \frac{a + b}{2},\; \frac{a + b}{2} \right)\]

落在直线 $y = x$ 上。代入不等式得

\[F\!\left( \frac{a + b}{2},\; \frac{a + b}{2} \right) \le \frac{1}{2} F(a, b) + \frac{1}{2} F(b, a).\]

步骤 3：利用极小值夹出等式。
因 $F(a, b) = F(b, a) = m$，右边为 $\frac{1}{2} m + \frac{1}{2} m = m$，于是

\[F\!\left( \frac{a + b}{2},\; \frac{a + b}{2} \right) \le m.\]

但 $m$ 是全局最小值，任何点的函数值都不能小于 $m$，故必有

\[F\!\left( \frac{a + b}{2},\; \frac{a + b}{2} \right) = m.\]

步骤 4：结论。
点 $\displaystyle \left( \frac{a + b}{2},\; \frac{a + b}{2} \right)$ 位于对角线上且函数值为 $m$，取 $t = \dfrac{a + b}{2}$ 即完成证明。$\square$

定理 1’（极大值）

将定理 1 中的 “凸函数” 改为 “凹函数”，”极小值点” 改为 “极大值点”，结论同样成立：存在 $t \in \mathbb{R}$ 使得 $(t, t)$ 是 $F$ 的（全局）极大值点。

证明

设 $(a, b)$ 是凹函数 $F$ 的一个全局极大值点，极大值为 $M = F(a, b)$。由对称性，$(b, a)$ 也是极大值点。

凹函数的 Jensen 不等式反向：

\[F(\lambda \mathbf{u} + (1 - \lambda) \mathbf{v}) \ge \lambda F(\mathbf{u}) + (1 - \lambda) F(\mathbf{v}).\]

取 $\mathbf{u} = (a, b)$，$\mathbf{v} = (b, a)$，$\lambda = \frac{1}{2}$，得

\[F\!\left( \frac{a + b}{2},\; \frac{a + b}{2} \right) \ge \frac{1}{2} M + \frac{1}{2} M = M.\]

结合 $M$ 是全局最大值，得到等式，从而中点亦为极大值点。$\square$

$n$ 维推广

设函数 $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，记点 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$。

称 $F$ 为 对称函数，若对任意置换 $\sigma \in S_n$（$n$ 元对称群），有

\[F(x_1, x_2, \dots, x_n) = F(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(n)}).\]

定理 2（极小值）

设函数 $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 满足：

对称性：如上定义；
凸性：$F$ 是凸函数；
极值存在性：$F$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上存在局部极小值点。

则必存在 $t \in \mathbb{R}$，使得点 $(t, t, \dots, t) \in \mathbb{R}^n$ 也是 $F$ 的（全局）极小值点。

证明概要

设 $\mathbf{x}^{(0)} = (x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)})$ 是 $F$ 的一个全局极小值点，极小值为 $m$。考虑所有坐标置换得到的点：

\[\mathbf{x}_\sigma = (x_{\sigma(1)}^{(0)}, x_{\sigma(2)}^{(0)}, \dots, x_{\sigma(n)}^{(0)}), \quad \sigma \in S_n.\]

由对称性，每个 $\mathbf{x}_\sigma$ 都是极小值点，函数值均为 $m$。凸函数的极小值点集是凸集，故这些点的算术平均

\[\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \mathbf{x}_\sigma\]

仍为极小值点。容易验证该平均点的所有坐标相等，均等于原始坐标的算术平均：

\[\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^{(0)},\; \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^{(0)},\; \dots,\; \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^{(0)} \right).\]

因此存在 $t = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^{(0)}$ 使对角线点 $(t, t, \dots, t)$ 为极小值点。$\square$

定理 2’（极大值）

将定理 2 中的 “凸函数” 改为 “凹函数”，”极小值点” 改为 “极大值点”，结论同样成立。

重要推论

推论 1（唯一性推论）

若对称凸函数 $F$ 存在唯一极小值点，则该点必为对角线上的点 $(t, t, \dots, t)$。同理，对称凹函数若存在唯一极大值点，也必在对角线上。

推论 2（严格凸/凹情形）

若 $F$ 是严格凸对称函数且存在极小值点，则极小值点唯一且必在对角线上。同理，严格凹对称函数的极大值点唯一且在对角线上。

推论 3（约束优化推广）

设 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 是对称凸集（即若 $x \in C$，则对任意置换 $\sigma \in S_n$ 有 $\sigma(x) \in C$），$F: C \to \mathbb{R}$ 是对称凸函数。若 $F$ 在 $C$ 上存在极小值点，则必存在 $t \in \mathbb{R}$ 使得 $(t, t, \dots, t) \in C$ 且是 $F$ 在 $C$ 上的极小值点。

应用示例

题目

设

\[f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx - 2(x + y + z),\]

求 $f$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的最小值。

定理应用解法

1. 验证定理条件

对称性：任意交换 $x, y, z$ 的顺序，表达式不变，故 $f$ 为对称函数。
凸性：$f$ 是二次型加线性项，其 Hessian 矩阵为
\[H = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}.\]
计算顺序主子式： $\Delta_1 = 2 > 0,\quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 > 0,\quad \Delta_3 = \det(H) = 4 > 0,$ 故 $H$ 正定，$f$ 是严格凸函数。
极小值存在性：正定二次型满足 $|(x, y, z)| \to \infty$ 时 $f \to +\infty$，连续函数必取到全局最小值。

由对称凸函数对角线定理（定理 2），必存在一个极小值点位于对角线 $x = y = z$ 上。

2. 降维求解

令 $x = y = z = t$，代入得

\[f(t, t, t) = 3t^2 + 3t^2 - 6t = 6t^2 - 6t = 6\left(t - \frac12\right)^2 - \frac32.\]

当 $t = \dfrac12$ 时取最小值 $-\dfrac32$。

故全局最小值为 $-\dfrac32$，在点 $\left(\dfrac12, \dfrac12, \dfrac12\right)$ 处达到。

3. 验证

直接求偏导验证：

\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y + z - 2 = 0,\]

由对称性另两个方程同理，解得 $x = y = z = \dfrac12$，与定理结论一致。

总结

原需解一个三元线性方程组。利用本定理，只需验证对称性与凸性，即可将问题化为一元二次函数求极值，大幅简化计算。

注记

可微性无关

本定理不要求 $F$ 可微，仅需凸性（或凹性）与极值点的存在性即可成立。整个证明仅依赖于 Jensen 不等式与极值定义，无需梯度、Hessian 矩阵等分析工具。

凸性的必要性

若无凸（凹）性假设，结论一般不成立。以下给出两个反例。

反例 1：

\[F(x, y) = -[(x - y)^2 - 1]^2 - [e^{x+y} - (x - y)^2]^2\]

是可微对称函数，存在两个严格局部极大值点 $(0.5, -0.5)$ 和 $(-0.5, 0.5)$，但在对角线 $y = x$ 上无任何临界点。

反例 2：

\[F(x, y) = \bigl((x-1)^2 + (y+1)^2\bigr) \bigl((x+1)^2 + (y-1)^2\bigr)\]

同样可微且对称，有极小值点 $(1, -1)$ 和 $(-1, 1)$，但对角线 $y = x$ 上无极值点（甚至无梯度零点）。

常见误区

定理仅保证存在对角线上的极值点，不保证所有极值点都在对角线上。